El pasado 6 de abril comenzó la campaña de la Renta 2021 y en España unos 22 millones de personas están obligadas a cumplimentarla. Este año Hacienda ha incrementado considerablemente los avisos a contribuyentes, particularmente a aquellos que poseen una cantidad de inversiones en criptomonedas superior al límite exigible para su declaración (1.000€). España está entre los cinco países de la OCDE con mayor esfuerzo fiscal, lo que puede motivar a más de un contribuyente a “maquillar” sus cuentas para reducir su tributación. Pero cuidado, existen diversos mecanismos con los que Hacienda puede detectar éste tipo de operaciones y hoy vamos a hablar de uno de los más curiosos: la Ley de Benford.
¿Qué es la Ley de Benford?
En 1938 Frank Benford, investigador de General Electric, se encontraba revisando una tabla de logaritmos (una tarea muy estimulante) cuando notó algo que le llamo la atención. Benford observó que el desgaste de las páginas del cuaderno disminuía de manera exponencial a medida que avanzaba, lo que sugería que aquellos que lo empleaban recurrían con mucha mayor frecuencia a las tablas de aquellos números que comenzaban por 1, en menor frecuencia a los que comenzaban por 2, y así sucesivamente…
Benford comenzó a especular sobre la posibilidad de que la ocurrencia de números en conjuntos aleatorios fuera tal que las mantisas de sus logaritmos fueran equiprobables. Esto, que suena algo abstruso, significa sencillamente que, según su teoría, dado un conjunto natural de cifras (por ejemplo, la población de cada municipio de España) la probabilidad de que el primer dígito de una de esas cifra fuera 1 no es 1/9, como cabría intuir, sino 1/3. La Ley no se queda ahí, pues asigna a cada dígito posible, una probabilidad cada vez menor, formando una escala logarítmica. Lo increíble es que se ha demostrado que esta Ley se cumple en una cantidad de conjuntos inmensa, incluida la población de cada municipio de España.
En resumen y a modo de aclaración, gracias a la Ley de Benford sabemos que si ordenaras en una tabla la población de cada municipio español, les eliminases todas las cifras excepto la primera, y contaras el número de ocurrencias de cada una, descubrirías que el 30% comienzan por 1, el 17.6% comienzan por 2, el 12.5% comienzan por 3, etc.
El debate sobre los fundamentos matemáticos detrás de la Ley es extenso, se conoce perfectamente como funciona, también que se cumple para todos los conjuntos de números generados de forma natural. Lo que todavía no está claro es la razón por la que la naturaleza ha escogido la escala logarítmica para gobernar su ¿espontaneidad?.
¿Y a mí qué?
Es posible que si, como es mi caso, las matemáticas no son tu principal área de interés, te pueda parecer que esto no pasa de ser algo curioso pero ajeno. Pues la verdad es que sea cual sea el tema que más te interesa, es altamente probable que la Ley de Benford este presente de una forma que no imaginas. La evolución de la Bolsa, los resultados electorales, el rendimiento de un futbolista, e incluso los retoques que le hiciste a esa foto, pero que “nadie podría notar”. A la Ley de Benford no se le escapa nada.
¿Cómo se emplea?
La cuestión es que cuando a un conjunto de datos, naturalmente generados, le aplicas el “test de Benford”, es decir, compruebas si la ocurrencia de sus primeros dígitos sigue las proporciones de la Ley, se observará una correlación prácticamente exacta. Da igual lo que analices, si es un conjunto generado espontáneamente, Benford aplicará. Lo interesante viene cuando el test arroja resultados contarios a la Ley. En este caso es prácticamente seguro que los datos hayan sufrido una manipulación.
Covid, Irán, Fotomontajes…
Durante la pandemia, los datos de contagios han sido minuciosamente analizados por diferentes expertos. La forma en la que se ha difundido esta información, ha creado un recelo entre la población ciertamente comprensible. Los científicos Chase Marchand y Dalton Maahas llevarona a cabo un estudio sobre el grado de desviación entre los datos de contagios de COVID en E.E.U.U y la Ley de Benford. De esta forma se pudo comprobar si los datos habían sido retocados. Los resultados muestran una relación sorprendentemente idéntica.
Existe también constancia de que la Ley de Benford ha sido empleada, por la CIA para conocer si una foto es auténtica o ha pasado por un editor. ¿Cómo? Simplemente observando si la distribución de sus píxeles se desvía de la Ley de Benford.
El mismo experimento se ha llevado a cabo para examinar y demostrar el fraude electoral en las elecciones presidenciales iraníes de 2009, en las que Mahmud Ahmadineyad fue reelecto.
Como vemos, la lista de casos en los que diferentes organizaciones han empleado la Ley de Benford para detectar fraudes en conjuntos de datos numéricos de la vida real es muy extensa. Pero sin duda, de todas las aplicaciones posibles, la que más le interesa al Gobierno es la detección de fraudes fiscales.
Benford y la declaración de la Renta
Ahora que hemos entendido qué es la Ley de Benford, cómo funciona, y por qué es una herramienta tan poderosa para corporaciones y gobiernos de todo el mundo, volvamos al asunto con el que comenzamos. ¿Puede Benford “chivar” a Hacienda si tu declaración es fraudulenta? ¿Utiliza el Gobierno ésta herramienta?
Respecto a la capacidad de la Ley de Benford para detectar fraudes en documentos fiscales, la respuesta es rotundamente SÍ. Es de hecho la principal función para la que se ha empleado desde su descubrimiento, y con bastante éxito. El proceso es el siguiente, los datos de tu declaración pasan por un filtro que detecta la desviación respecto a la Ley de Benford. Es muy sencillo, cualquiera podría hacerlo con conocimientos básicos de Excel. Cuando un conjunto de datos se desvía por encima del intervalo de confianza, saltan las alarmas. Tu declaración es marcada con un punto rojo y los inspectores la analizarán en profundidad en busca de cualquier irregularidad. Y si la alarma ha saltado, es muy poco probable que dicha irregularidad no exista. Qué la detecten o no, ya no depende de Benford sino de la temeridad de tu gestor.
Finalmente, respecto a si la Hacienda española utiliza la Ley de Benford para analizar la declaración de la renta de los contribuyentes, la respuesta es que no se sabe con seguridad. Existe constancia de que muchos organismos fiscales alrededor todo el mundo la han incluido entre sus herramientas, al menos durante algún tiempo. Cuando se ha entrevistado a ex-trabajadores de estos organismos todos responden lo mismo: “No puedo compartir ese tipo de información”.
En definitiva, la Ley de Benford es una herramienta muy poderosa, cuyo potencial todavía se desconoce. Todavía no alcanzamos a comprender muchas de las relaciones entre la naturaleza, la espontaneidad y las matemáticas; pero como hemos visto, su alcance va mucho más allá de lo que cabría imaginar.
Jorge Moreno.
Fuente: Miller, S. J., & Takloo-Bighash, R. (2020). An Invitation to Modern Number Theory. Amsterdam University Press.
